2021年 9月 1日，距离新一轮 AI浪潮启动还有 15个月。NVIDIA当时股价只有今天的十分之一，所以还在很努力地寻找 GPU的各种应用场景，比如：数字币。

在这天，NVIDIA发布了一张专门用于数字币挖矿的显卡 CMP 170HX。这张卡的核心基本就是 A100。但 NVIDIA为确保其只能用于挖矿，对 FP32、TF32等挖矿用不上的算力进行了大幅度削减。比如 A100的 TF32是 156 TFLOPS，但 CMP 170HX则只有 15 TFLOPS。另外 PCIe带宽等也被大幅削弱了。

更令人发指的是，CMP 170HX本质上是英伟达把那些未能通过 A100标准测试的瑕疵芯片再砍一刀后进行废物利用的产品，所以 CMP 170HX其实物理上就有 80G的显存，但 NVIDIA通过固件限制只用了其中 10G。

这些年硬件社区一直在想办法突破 NVIDIA的限制。最近，终于有人完成了最后一跳，把 CMP 170HX被锁定的性能解放了：FP32算力提升 31倍，FP64算力提升 60倍，TF32算力提升 15倍，10 GB显存变成 80 GB，PCIe从 Gen1 × 4变成 Gen2 × 16。

虽然 NVIDIA的限制是在固件里做的，但破解并不是通过修改固件实现的。NVIDIA显卡内有独立的处理器专门用来验证固件的数字签名。就算有人能搞清楚固件的格式，修改后的固件也无法在显卡里加载运行。

在整个破解中，只有把 PCIe位宽从 ×4变成 ×16需要手工补焊 24颗 100nF的电容，其余都是通过利用固件漏洞。

CMP 170HX的固件里有一段接收 DMA数据的函数，在处理数据时没有限制用户输入的长度，存在缓冲区溢出漏洞。…

虽然 NVIDIA的固件也用了类似于 Stack Cookie的缓冲区溢出保护机制，但问题是 NVIDIA的编译工具链犯了一个低级错误：把 Stack Cookie放在了可写全局数据段的顶部，这就导致了通过溢出不仅可以覆盖返回地址，进一步也可以改写 Stack Cookie，所以 Stack Cookie的保护也就被绕过了。

同时，研究者利用固件自身的代码构造 ROP Chain，获得了 LEVEL2特权，然后通过修改影子寄存器中的显存限制位、算力限制位、链路限制位，实现了释放显存、解锁算力等破解操作。

影子寄存器相当于显卡的配置中心，位于一块独立的电力供应区域。所以，完成破解后，只要不拔服务器电源，那么无论是操作系统重启还是对显卡进行功能级复位，破解都会一直生效。

最终破解后实现的性能虽然比 A100还是略差些，但已经完全可以用于 AI推理了。

目前二手市场 A100要几万元，而 CMP 170HX只要几千元。不过估计 CMP 170HX很快会涨价，然后大家也会对“知识就是金钱”这句话有更深刻的理解。

Quanta杂志给两位中国Fields奖获得者写得侧写真好，非常值得看一下，即便完全不懂获奖者所攻克的数学难题（比如我）也没有问题。对于倍感焦虑的中年科学家，这样的文字有如心灵按摩。

两位数学家的经历各有不同，但在数学的召唤下，却又都显得殊途同归：王成长在一个氛围宽松的教师家庭，喜欢阅读、打乒乓球，父母没有过高的期望，是自己全凭兴趣进入了数学的世界；邓来自医生和软件工程师的家庭，因为过于热爱阅读，父母担心他视力坏掉开始让他学围棋，几乎达到职业选手的高度；和数学的缘分来自父亲带他徒步时出的数学题，然后邓在7岁的年纪就自觉调用了高中数学知识解决掉了问题。兴趣和天赋，缺一不可。

两位数学家的性格似乎大相径庭，但在数学面前，却又都收敛到了极度的专注与投入的平衡态上：文章里的邓虽然性格安静，但好胜心一览无余。和同学下围棋如果输了就会要求一直下，直到能赢过对手；决定投身数学是因为某个围棋比赛输了；谈到IMO也直言“真的想赢”。王则显得更加的谨慎和淡然。因为07年高考北大数学在广西只有一个名额，所以只好去了地球物理专业；成功转专业后也因为成绩不是顶尖的担心自己是否能读研究生；在巴黎高师因为觉得自己做不了数学研究，去建筑师事务所实习，之后发现心依然数据数学，于是决定“不再担心自己是不是够好，只努力更好的理解数学”（“I decided not to worry about whether I would be good or not and just work on understanding better”），但在取得了突破成就后，因为公共事务增多仍然会担心自己落伍，依然认为“自己要投入更多的时间才能和同事们一样出色”。。。

但一谈到数学研究，在文章里看到的又是那种近乎刻版印象的数学家形象了。…

同为数学家的同事说王是他们见过的最投入的人，工作状态仿佛隐居的修女，又像是顶尖的职业运动员，甚至不允许自己有耗费是时间的爱好。邓对二次元的投入现在人尽皆知，但文章里也提到，他喜欢在独自在开放环境下思考、房间里几乎“家徒四壁”才会感到自由，可以放心思考问题、因为担心在开车的时候想数学走神有危险所以从来没考驾照、父母说他吃饭或者聊天的时候会突然停下来开始思考数学问题。。。。

但两位的职业生涯里又从来不是无忧无虑的：王的科研经历有曲折，到现在依然习惯早起散步来缓解“因为数学研究引起的压力和自我怀疑”；邓在博后阶段工作不顺利、找教职不成功动过回国到金融公司就职的念头，但最终依然无法背叛自己对数学的热爱。

天赋是学不来的；但即便是有天赋、有投入的人里，能足够坚韧坚持下来的、能足够幸运取得瞩目成就的，依然是极少数。然而，作为一个科学工作者，窥探这些优秀学者职业路线的时候，依然能如同第一次读到心灵鸡汤那样，被一种内禀的好奇和热爱所产生的扭曲现实的巨大力量所洗礼，并无法避免地再次检视自己的内心。

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链接：

- 王：http://t.cn/AX9SkllO

- 邓：http://t.cn/AX9oyYH9

#梁文锋格局##梁文锋四小时投资人会议实录##模型时代# DeepSeek和其他AI公司路线有何不同？

估计大家已经看完了梁文峰的发言实录。由于DeepSeek很少讲自己的技术/公司路线（除了论文），所以给大家一个补充分析，基于梁文峰的十个观点，总结一下DeepSeek和其他AI实验室的比较，看看有哪些异同。

如果一句话总结，是每个路线上，基本上都有至少一个走类似路线。所以，可以狭义的认为，如果按照哈萨比斯说5-10年可以实现通用人工智能的观点：当下大家的技术路线正在收敛。当然，这里没有比较伊利亚的SSI会走什么通用人工智能路线，因为无奈这位比梁文峰保密程度还高。

观点一：持续学习决定下一代模型

模型需要在长期工作中获得新知识和新技能，同时保留旧能力。长上下文和外部记忆解决信息保存，持续学习还要求知识进入可复用的内部能力。

相同路线：

Google DeepMind：Titans在运行期间更新神经长期记忆；Nested Learning与Hope继续研究多时间尺度学习和自修改记忆。这是最接近的公开实验。

接近路线

OpenAI：ChatGPT的Dreaming机制会整理和更新用户记忆；Codex通过上下文与任务历史维持长任务。公开材料没有显示模型在服务期间持续更新基础权重。

Anthropic：Claude和Claude Code用项目文件、记忆与长上下文延续工作，属于外部记忆路线，模型权重没有随任务持续学习。

观点二：Coding Agent优先于行业智能体

代码具有编译、测试和性能指标，训练反馈容易自动验证。Coding Agent还能直接改进训练框架、算子和数据管线。

相同路线：…

Anthropic：Claude Sonnet 5与Claude Code把长期软件工程、终端操作和工具调用放在核心位置。

OpenAI：GPT-5.6已进入Codex，覆盖长时间编码、终端操作、多智能体协同和代码验证。

Kimi：Kimi K3面向长时程编码和知识工作；公开权重中的Kimi K2.7 Code专门优化真实软件工程，并把思考token相对K2.6降低约30%。

Qwen：Qwen3.7继续强化通用智能体；Qwen Code和Qwen3-Coder-Next分别提供编码执行框架与80B总参数、3B激活参数的本地Coding Agent模型。

接近路线：

Meta：Muse Spark 1.1已用于Meta内部编码，并被研究人员用于模型开发和评测自动化；Meta同时投入多模态和媒体生成，Coding Agent不是唯一主线。

Google DeepMind：Gemini 3.6 Flash显著强化长时程软件工程和计算机操作；Google还同时推进科学、世界模型和机器人，研究范围更宽。

观点三：AI先帮助模型公司开发下一代AI

AI先改进模型公司的代码、算子、训练系统和实验流程，再由新模型提高下一轮研发效率。

相同路线：

Google DeepMind：AlphaEvolve已经改进数据中心调度、TPU设计和Gemini训练。公开案例中，一个Gemini矩阵乘法内核加速23%，训练时间缩短1%；部分FlashAttention内核最高加速32.5%。

OpenAI：GPT-5.6已用于诊断研究故障、优化训练系统、运行实验、解释结果和改进其他模型。OpenAI还用RSI Index评测研究调试、内核生成、训练配方和后训练能力。

Meta：Muse Spark 1.1已被内部研究人员用于模型开发和评测自动化，但尚未公开完整的自主训练闭环。

接近路线

Sakana AI：2026年成立专门的RSI Lab。Darwin Gödel Machine允许Coding Agent修改自身代码和工具，并通过保留多条改进分支持续搜索；基础模型仍由外部提供。

Google已有生产系统收益，OpenAI已有完整研发环节使用，Meta已有内部工作流，Sakana更接近开放式递归改进实验。

观点四：Scaling仍有效，效率决定可承受规模

低成本模型服务于更大规模的训练和实验。效率越高，同一批算力能够支持越大的模型、更多的数据和更多轮试验。

相同路线：

Kimi：Kimi K3已上线，总参数为2.8T，上下文为1M。Moonshot已宣布开放权重，但截至7月23日，官方Hugging Face仍只列到K2.7，K3的完整权重和技术报告尚未出现，因此激活参数等架构细节不作确定表述。

Qwen：Qwen3.6-35B-A3B用35B总参数、3B激活参数提供开放模型；当前在线旗舰已更新到Qwen3.7。它延续了稀疏激活、混合注意力和智能体强化学习的效率路线。

Mistral：当前开放模型Mistral Small 4为119B总参数、每个token激活6B参数，采用128个专家、每次激活4个专家。它把推理、多模态和Coding Agent合并进一个稀疏模型，直接延续性能成本路线。

接近路线

Google DeepMind：Gemini 3.6 Flash相对3.5 Flash减少17%的输出token，并降低工具调用次数；Google同时启动了规模最大的Gemini 4预训练。它同样用效率收益支撑更大Scaling，可使用的总算力更高。

OpenAI：GPT-5.6以Sol、Terra、Luna三个能力层级覆盖不同成本，并公开强调以更少token完成长任务。参数和训练计算没有公开，无法与DeepSeek作架构级比较。

观点五：世界模型后置，具身智能是长期终点

多模态承担近期产品功能。世界模型和视频生成暂不进入智能主线。具身智能仍是长期终点，但排在持续学习和AI改进AI之后。

相同路线：

Anthropic：当前主线集中于前沿语言模型、Coding Agent、计算机操作、安全和可解释性，尚未把世界模型或机器人列为核心产品线。

接近路线

OpenAI：GPT-5.6、Codex和智能体仍处在中心；Sora说明视频生成与世界模拟继续作为并行方向。

不同路线：

AMI Labs：Yann LeCun在2025年底离开Meta后创办AMI Labs，把理解物理世界、持久记忆、推理和规划作为主线，直接延续原来的世界模型路线。

Google DeepMind：同时推进Gemini、Genie世界模型和Gemini Robotics，世界建模与具身智能已经进入前沿研究主线。

Qwen：2026年6月发布Qwen-Robot Suite，覆盖导航、操作和世界生成；Qwen-AgentWorld还用语言世界模型模拟七类智能体环境。

Mistral：2026年7月发布Robostral Navigate。该8B模型用单个RGB摄像头完成机器人导航，具身智能已经成为正式产品方向。

Physical Intelligence：π0.7直接从跨机器人、跨任务训练出发，能够执行训练中未出现的语言指令，具身模型从一开始就在主线中。

观点六：用编译器和系统协同降低CUDA依赖

国产卡能否使用取决于模型、算子、编译器、通信和集群调度。单卡峰值无法单独说明完整训练的经济性。

相同路线：

Google DeepMind：Gemini长期运行在Google TPU体系上。Google同时控制模型、编译器、芯片和集群，是最完整的非NVIDIA前沿模型路线。

Anthropic：Claude同时训练和运行于AWS Trainium、Google TPU和NVIDIA GPU，属于模型公司主导的多硬件策略。2026年又取得Colossus 1超过22万块NVIDIA GPU的容量，因此不能归类为主要依赖非NVIDIA。

接近路线

Meta：MTIA 300至500开始从推荐系统扩展到通用生成式AI和推理。公开材料尚未证明Meta用MTIA完成前沿基础模型的完整预训练。

Mistral：Mistral与NVIDIA共同优化MoE内核、低精度和推理系统，属于模型与硬件协同，但硬件选择更集中。

不同路线：

SpaceXAI：Grok 4.5依托Colossus集群，官方披露规模为20万块GPU，当前路线仍以大规模NVIDIA集群为核心。

观点七：近期依赖高质量数据，长期转向合成与验证

现阶段仍需要数据工程、强化学习和人工评价。长期方向是扩大合成数据和自动验证，降低人工标注比例。

相同路线：

OpenAI：使用合成数据和大规模强化学习；GPT-Red进一步让红队模型通过自我对抗发现漏洞，并把结果送回生产模型训练。

Anthropic：Constitutional AI让模型生成批评、修改答案和偏好反馈，以减少部分人工标签。

Qwen：Qwen-AgentWorld使用超过1000万条真实交互轨迹训练环境模拟器，再通过强化学习提高状态预测；代码、终端和机器人任务都能提供自动验证信号。

Kimi：公开技术证据主要来自K2系列，包括智能体数据合成、环境强化学习和可执行编码任务。K3已上线，但完整技术报告尚未公开。

接近路线：

Google DeepMind：AlphaZero只依靠规则和自我对弈达到超人水平，证明合成经验在封闭领域可以超过人类示范。

代码、数学、软件环境和仿真机器人会较早降低人工标注比例。开放式知识工作仍需要人类定义质量标准。

观点八：开放强模型，以低价API扩大生态

开放权重后，部署成本、服务稳定性和硬件利用率仍可形成壁垒。低价API还能扩大使用规模，并推动第三方完成量化和芯片适配。

相同路线：

Kimi：K3已作为在线模型发布，并被宣布为开放权重模型。到7月23日，Moonshot官方Hugging Face仍只有K2.7及更早模型，因此当前准确表述是“K3已发布、权重开放已宣布、完整文件尚待落地”。

接近路线：

Thinking Machines Lab：由 OpenAI前首席技术官 Mira Murati创立的 Thinking Machines Lab前不久发布了首款开放权重多模态大模型 Inkling，开发者可直接在 Hugging Face下载模型权重。混合专家架构：总参数量达 975B，激活参数为 41B（包含 256个路由专家和 2个共享专家）。

Qwen：持续开放Qwen3.6、Qwen-AgentWorld和专项模型；当前Qwen3.7旗舰为专有在线模型，属于开放模型与闭源旗舰并行。

Mistral：Large 3、Small 4等模型提供开放权重，Medium 3.5及企业服务采用商业API，继续维持开放与商业双轨。

Meta：Llama形成了大型开放权重生态；当前Muse Spark、Muse Image和Muse Video没有开放权重，Meta的前沿主线已转为产品与API优先。

OpenAI：发布gpt-oss开放权重模型，GPT-5.6旗舰仍为闭源服务。

Google DeepMind：开放Gemma系列，闭源Gemini承担旗舰能力。

这条策略也使DeepSeek、Kimi、Qwen和Mistral成为新AI芯片常用的参考模型。芯片厂商可以用主流开放模型验证吞吐、首token延迟和MoE通信。

观点九：通用人工智能研究优先，产品与行业应用后置

模型研究处于资源分配中心。C端、API和行业智能体承接阶段性能力。金融、医疗等垂直Agent的优先级低于通用Agent和Coding Agent。

相同路线：

AMI Labs：把理解真实世界的高级机器智能作为核心，工业和机器人应用用于承接研究成果。当前仍处于研究组织建设期。

接近路线：

OpenAI：章程以通用人工智能为核心使命；GPT-5.6、ChatGPT、Codex和企业业务已经形成大规模产品体系，研究与部署同步推进。

Google DeepMind：明确研究通用人工智能并保持科学导向，同时推进Gemini、世界模型、机器人和产品部署，主线更宽。

Anthropic：核心仍是前沿模型、安全和可解释性；Claude Code、Claude Science及企业业务已扩大产品范围。

观点十：使命驱动、研究自主和共识决策

DeepSeek不以KPI推动研究。正式项目占研究人员时间不超过一半，其余时间可自主探索；团队共识和人员稳定被放在较高位置；低加班被视为研究环境的一部分。

相同路线：

Anthropic：以整体团队集中研究少数大问题，频繁讨论方向，强调高信任、低自我、使命优先和灵活工作时间。它与DeepSeek都强调使命和协作；Anthropic的“big science”更加集中。

Google DeepMind：研究员可以提出假设和新范式，并负责不同规模的项目；同时设有完整的产品和项目管理体系，组织成熟度更高。

接近路线

OpenAI：强调个人能动性、创意优先、快速修正和想法不受职级限制；同时公开强调高强度专注，工作节奏与DeepSeek不同。

不同路线：

SpaceXAI：强调第一性原理、快速开发、快速修正和现场协作。使命驱动相近，执行节奏更强。

东方文明古国迎来历史性大奖#菲尔兹奖#一件事之所以载入史册，必然是因为主人公突破了种种框架的束缚，抵达了若干范畴偏远的交界地带。这样的边疆地带，原本空旷荒凉，但主人公大无畏的开拓进取，让人看到了生命活力的气息，感受到了主观能动性的魔力。大漠孤烟直，长河落日圆。

菲尔兹奖是数学界的顶级荣誉，四年一次，某种程度上比诺贝尔奖含金量更高。

#中国籍数学家首获菲尔兹奖#这样的大奖早就应该到来。但它真的到来时，还是让人忍不住惊叹。

“基础科学在中国历史上根基浅薄，所以现在也没希望。” “中国僵化的中小学教育，孕育不出世界级基础科学突破。” “擅长奥数竞赛，才能做好数学研究。” “女性想成为顶尖数学家，白日做梦。”类似的论调要么在媒体上常常看到，要么是许多人默认的常识。

反驳常常无力。

榜样的力量是无穷的。

2026年，#王虹#、邓煜，双双荣获菲尔兹奖。

这注定要载入史册。

这里我们先用几句话概括其论文的精髓。

王虹、Zahl，证明了三维空间挂谷猜想。满足某种特定条件的集合，也就是挂谷集合，它的体积可以极小，甚至是零。麻雀虽小五脏俱全。王虹证明了，尽管体积可以极小，但它的维度，不会有一丁点损失缺憾，必定是完整的3，而不是譬如说2.95这样的病态数字。

而邓煜、Hani和马晓，则证明了狭义希尔伯特第六问题。一团气体，微观上看，是亿万硬球粒子在碰撞，虽然碰撞规律极简单，可粒子太多了没法追踪。但从更大的尺度上看，只用几个量（譬如粒子数、密度），极少数方程（譬如玻尔兹曼方程），你就能对这无数粒子有更整体的把握、更简单的描述。此类方程用处无穷，久经实践考验。但玻尔兹曼当年的推导步骤，从理论上讲，并不牢靠。邓煜从数学上绝对无疑地完善了这个推导，根基从此彻底稳固，还进一步严格推出了宏观的流体方程。…

每一项科学突破，都是难以言传的奇迹。面对一个存在多年甚至上百年的难题，你得在短短几十年内，消化上千年来无数天才的智慧结晶，才有能力理解清楚这问题的实质和现状。许多大名鼎鼎的人物，与之博斗过，折戟而归。有一天，你却意识到，我可以。

数学是人类心智的荣耀。数学家是在人类精神疆域开疆拓土的英雄。

人类对物质世界的一切改造，所能达到的边界，从根本上都由数学决定。

建国初期，开国领袖曾预言：“进到二十一世纪的时候，中国的面目更要大变。中国将变为一个强大的社会主义工业国。中国应当这样。”他还感叹：“中国应当对于人类有较大的贡献。而这种贡献，在过去一个长时期内，则是太少了。”

现实基本符合他的预期。今天的中国，百花齐放。可上九天揽月，可下五洋捉鳖。中国已是第一大工业国。商品畅销全球，深刻塑造着全世界人民的生活。中国早已在无数领域做出巨大的贡献。

伟人的格局甚是阔大，一开始面向的就是全人类。那么，基础科学领域的贡献，必然也是题中应有之义。

这里就有一个遗憾：中国在基础科学领域获得的有分量奖项太匮乏了。自然科学的奖项，固然也涉及复杂的人情博弈，但依然具有极高的客观性。中国确实也有些大奖级别的成果没获奖，但这样的成果非常稀少。获奖不获奖是表面问题，实质问题是，中国在基础科学领域，对全人类的贡献太少了。

屠呦呦迈出了伟大的一步。但数学、物理等更基础的领域，依然几乎空白。万事开头难。而邓煜和王虹，竟然一下子迈出两步，极大地改善了局面。

即使同样级别的成果，开创性拿到大奖和没拿大奖，也有一个关键的心理区别。前者能更好地帮我们对大奖本身祛魅，恢复平常心，早日超越可能性，走向必然性。

仅仅从国家和人民的实际利益角度看，基础科学也至关重要。

基础科学是应用科学的源头活水，“是所有技术问题的总机关”。

根深，才能叶茂。

基础科学，能帮我们更高效地向各行各业输送顶尖人才。

人无远虑，必有近忧。

基础科学强盛，国家才能经得起时代惊涛骇浪的长久考验。

——————————————————基础科学的根本和典范，是数学。

《几何原本》很晚才传入中国。其中的公理化方法是现代数学的标志。

从公理推导出定理。再以各种定理作为前提假设，推导出新的定理。

所谓公理，就是无需证明的基础假设。

所谓证明，就是把定理牢牢奠基于最底层的公理。

“一个整数的后继者也是一个整数。”这就是一个算术公理。

譬如，王虹的论文，就以沃尔夫公理为基础。

而邓煜的论文，则是物理学公理化的光辉范例，把重要的宏观方程奠基于微观的确定性。

数学是逻辑思维的艺术。

逻辑的根基是三段论。

“人必有一死。” “张三是人。” “张三会死。”从两个前提假设，演绎推理出一个结论。

但数学绝不仅仅是逻辑。

数学巨匠庞加莱，在《科学与假设》一书开篇便指出，数学这门科学本身就是一个不可思议的矛盾。三段论并不能教会我们任何本质上新的东西，因为结论一定蕴含在前提中。如果数学所有命题都可以通过逻辑推导出来，那为什么数学没有变成毫无新意的同义反复呢？

仅仅靠逻辑，数学理应高度受限无比匮乏。

可事实上，数学家总是在从特殊走向一般，不断推广和创造出新知识。数学的丰富和强大有目共睹。

庞加莱说，消解矛盾的关键，在于递推推理，也叫数学归纳法。它将无数个三段论浓缩在一次论证中，使我们能跨越深渊，从有限迈向无限。

数学归纳法，就像多米诺骨牌。你得证明你能推倒第一块骨牌，这是奠基。你得用三段论做一次证明，不管你随便推倒了哪一块（第n块），紧接着的下一块（第n+1块），也必然随之倒下，这是传递性规则。

问题在于，严格来讲，你必须得做无限次的三段论证明，才能得到适用于所有数字的普遍定理。从经验的角度讲，你可以证明一千次，一万次，但永远没办法证明无限次。无限次是一个深渊，仅靠逻辑没法跨越过去。

所以庞加莱说，数学归纳法本身是“一个无法证明的公理”。

仅仅从有限的个例，如何得出更广泛更普适的结论？这世界上确实有许多重要的东西无法证明，但你可以选择确定无疑地相信。

如果说三段论让数学在很大程度上表现为各种数学语言之间的翻译，那么数学归纳法则在翻译过程中不断加入新元素新东西。

邓煜的论文，就在关键的“切割算法”中，使用了数学归纳法。

而“尺度归纳法”更是王虹论文的核心。正如陶哲轩所言，她“犹如完善了一台永动机”，每次都能压榨出一个微小进步量，这就是证明了传递性规则。而第一块骨牌前人早就推倒。不过，尺度归纳法，跟数学归纳法，不太一样，譬如前者还须额外的拓扑论证，但两者有异曲同工之妙。

——————————————————正因为存在数学归纳法之类的打包压缩，数学中许多表述简洁的概念和定理，剖开来看，都有着层层嵌套的丰富内涵。充分利用概念封装，思考才能更高效更省力。

数学必须奠基于公理，才能走得更远。可数学家并不总在自下而上地打包和证明，常常需要先自上而下地猜想和发现。两者相辅相成。

历史上，微积分创立后，威力无穷，蓬勃发展。多年后却出现模糊混乱矛盾迭起的停滞期。原因在于，许多公式虽然用起来大体有效，实质上并未被严格证明。数学家于是花了很大力气，才将它们跟底层公理联系起来。

数学家往往是先有了直觉，然后越来越清晰地表述为具体的猜想，最后做出证明。

反过来看，抽象深刻的数学概念和定理，往往都有形象直觉的一面。

数学的这种概念封装和形象直觉，有一个生动的侧面印证。翻开数学论文和专著，你常常会惊讶地看到这些词：工具，机器，技术，操作。那些抽象定理、公式、算法，乃至理论框架，仿佛可以被看见、触摸、把玩。

这也许不应仅仅视作一种隐喻。菲尔兹奖得主孔涅（Connes）就曾严肃地论证，数学家“必须创造工具，完全就像沃森和克里克必须拥有电子显微镜才能观察事物一样”。

工具和机器有平庸优秀之分。

优秀的数学工具和机器，能实现特定功能，解决之前束手无策的问题，这就意味着数学突破。

优秀的数学工具和机器，操作起来简单便利，具有可迁移性，换个环境，或稍加改造，还能用。

譬如乘法表乘法规则。任何人只要有耐心，都可以把任何两个数相乘算出结果。

譬如笛卡尔坐标系，把几何问题转化成了代数计算。按部就班，就能解决许多原本依赖灵感和奇思的问题。

注意，简单性、便利性，并不意味着工具的结构一定简单，而是它操作起来更有确定性，更加算法化，不需要灵机一动。

最好的数学工具和机器，能经得起时间的检验。譬如微积分、矩阵理论、嘉当结构方程。就像精彩的唐诗，能纵越古今，横跨中外，融入一代代人的生活。

——————————————————

数学中每一门分支学科的成熟，往往以“基本定理”的确立为标志。然后这门学科的定义和定理，会像标准化零件一样，渗透到其他学科。任何概念和定理，只要你能找到其间同构或同质的部分，就可尝试以此为卯榫接口，构建出新定义新定理。

该从哪里去寻找零件构造机器？

假如在做课后习题，参加考试，你一定能从范围狭窄的教科书和参考书中，找到所有需要的定理和方法。

而在探索未知的最前沿时，则更难抉择取舍。数学中已知的概念定理浩如烟海，任何一个都可能是证明的基石。你需要感受到哪些东西虽然表面看似不同，实则存在着深刻联系和相似性。仿佛精彩的比喻。有时候这会以问题为导向。有时候是为了构建更自然更普适更易理解的框架，问题的解决只是框架构建不经意的副产品。

数学的丰富性，更直接的来源，正是在这里。后来者的机会与自信，也正藏在这里。

第一流的思维能力，正体现在这种对事物本质的直觉理解力，对深刻共性的感知力，对简洁优美的鉴赏力，对可能性与时机的判断力，对困难敢于藐视的魄力。

邓煜论文两百多页，但他说关键之处其实就那么几步，而且思路简洁清晰。

王虹面对挂谷猜想时的评论掷地有声，“这是必须要做到的。”（This was necessary. It needed to be done.）

发明数学机器的零件，很多时候甚至藏在其他领域多年前发表的论文里。

不必随大流，不一定追热点。二三素心人，即可商量培养。

正如庞加莱所言，“最有成果的组合，常常是从相距很远的领域取出的要素形成的组合。”

经典硬球粒子和玻尔兹曼方程，源自纯粹经典的物理学，邓煜创造性地引入和发展了波动力学和量子相关的方法。

挂谷猜想原属于调和分析，王虹却从图论、泛函分析等领域，借用了大量技术。

仔细观察就不难发现，许多行业的顶尖人物，展现出的实质上是同一种能力。

“汽车有什么了不起，不就是四个轮子、两部沙发加一个铁壳吗？”

独辟蹊径，精进技术，小企业也能成长为巨头。年轻人也能解决大问题。

——————————————————

面对同一个难题，若你的思路和其他人完全一样，那就只剩速度的竞争，单一维度的内卷。这是被动的境况。

通常所谓的聪明、天赋，往往指反应敏捷。聪明这种天赋当然非常重要。然而，许多人往往忽略了另一种同样重要的天赋。可以称之为“笨拙的天赋”。

人学新东西，之所以感到困难，显得笨拙，常见原因在于，他执着于一开始就对每个概念刨根问底，否则寸步难行。可这没有尽头。你得能容忍模糊，先接受它、记住它、使用它，在对它的把玩与驾驭中，有朝一日反而能融会贯通。这就会显得很聪明。

但这里存在一个悖论。

快速接纳，容易接受概念与框架，不为概念所困，却也可能对概念框架本身习焉不察；而钻牛角尖（譬如，为何这样？必须这样吗？有没有更形象更直觉的理解？这概念跟无数其他概念有何关系？），容易把自己束缚在框架之内，困惑纠结，甚至窒息，却也可能会松动它、融化它、突破它。聪明，可能变成才华横溢，也可能最终流于浅薄；笨拙，可能变成大智若愚，也可能滑向真正的愚笨。两者都有可能

聪明和笨拙是相对的。相较于此人，你更聪明；相较于彼人，你更笨拙。你学这东西，很聪明；学另一个，很笨拙。人人二者兼备。

聪明是天赋，笨拙也是天赋。人人都有天赋。要清楚自己究竟更多聪明的天赋，还是更多笨拙的天赋。笨拙，要适当向聪明学习接受模糊；聪明，要适当向笨拙学习死磕本质。

二者可以相互借鉴，甚至相互转化。

少小时迟钝木讷，也可能一旦开窍，敏锐迅捷。

年轻时彩色绚烂，也可能渐老渐熟，至于平淡。——————————————————二十世纪顶尖的拓扑学家，博特（Bott），曾有一番精辟的概括： “做伟大的数学有两种方法。第一种是比其他所有人都聪明。第二种方法是比其他所有人都笨拙——但要坚持不懈。”

伟大的事业，亦当如是。

许多人以为，做数学的人都聪明得很，不像普通人一样，常常有力不从心的笨拙之感。事实并非如此。他们聪明些，但他们也是人。其心理困境与普通人并无二致。其成才规律也与别的领域如出一辙。许多大数学家都曾经深感笨拙，强烈怀疑自己。

菲尔兹奖得主奎伦，本科硕士期间，对基础原理病态执着，总需要从第一性原理出发，一步一步缓慢思考才能有一丁点进展。他极不自信，觉得自己反应迟钝，一度想放弃数学。

然而读博时，他发现，导师博特竟然反应如此迟钝。博特树立了一个榜样，让他明白，“一个人不需要思维敏捷也能成为极其优秀的数学家。”

重剑无锋，大巧不工。

“对数学最深刻的贡献，往往是由‘乌龟’而不是‘兔子’做出的。”菲尔兹奖得主高尔斯（Gowers）的这番话也许有几分道理。

第一流大师都惊人地坦诚，关键在于，你愿不愿意相信这种坦诚。

格罗滕迪克在《播种与收获》一书中回忆了在学校时的窘况：

“在这个接纳我的数学界里，我有幸结识了许多人，既有前辈，也有与我年纪相仿的年轻人。显然，他们比我更加才华横溢，也更加天赋异禀。我十分钦佩他们，因为他们学习新概念游刃有余，仿佛在做游戏一般；他们将这些知识玩转于股掌之间，仿佛从摇篮时期就已熟稔于心。相比之下，我却觉得自己迟钝笨拙，像只鼹鼠一样，在一座庞杂无形的知识大山中艰难地摸索前行——别人信誓旦旦地告诉我，掌握这些东西至关重要，可我却觉得自己根本无法理清其中的来龙去脉。事实上，我身上丝毫没有那种天才学生的影子：他们能轻而易举地通过那些极具声望的选拔考试，能在顷刻间消化掉令人生畏的繁重课程。”

尽管如此，他后来却在数学界极富影响力。

“事实上，这些被我视为比自己更聪明的同道中，大多数后来都成了杰出的数学家。然而，以三十或三十五年后的眼光回望，我可以说，他们在我们这个时代的数学上留下的印记并不十分深刻。他们都做出了成果，往往是漂亮的成果，但都是在一个先于他们而设定好的框架之内，而他们也无意去撼动这个框架。不知不觉间，他们始终是那些无形而专横的藩篱的囚徒——正是这些藩篱圈定了某个特定时代、特定圈子的思想疆域。”

今天人工智能（AI）的奇迹，开始让许多人对人类的数学能力悲观。

格罗滕迪克这番论述，却可以让人明白，为什么应该乐观。AI是极聪明的思维伴侣。但它的框架完全受制于人类，它跳不出人类智慧的五指山。它的成果或许会光彩一时，但不会留下深刻的印记。人类时不时会冒出罕见的天才，能够突破种种框架束缚，发现简洁优雅的真理，完成多领域的大一统，将陈旧繁杂的框架，扫入历史的垃圾堆。

最前沿的数学和物理学中，常常有反复出现的同一段主旋律。有限维度的微积分，早已成熟；跨尺度的无限维泛函微积分，基本定理却都迟迟没有建立。时代在召唤。

——————————————————在AI时代，与机器拼速度并不明智。人类的真正护城河，也许正是那种会痛苦、会纠结、会执着于本质和直觉的笨拙。

遗憾的是，媒体常把数学家塑造成毫不费力的天才，不食人间烟火的怪人，抹杀了这种真实，这极不利于对数学家和数学祛魅。一项事业，若不能对之祛魅，则不利于它的兴盛和普及。但在王虹对自己的描述中，你可以清晰感受到，她也像每个普通人一样，经历过种种挣扎，甚至动摇。“北大厉害的同学太多了。”她一直觉得挺迷茫，“以前也真的放弃过。就是我在法国的时候有半年没有做数学就去学建筑了，然后发现建筑也挺难的，后来又回来做数学。”在挂谷问题中，她能感受到那些“可以直观想象出来的具体事物”，她却将其他数学理论描述为“令人生畏”。

数学家也有跟同龄人一样鲜活的爱好。王虹，热爱运动。而邓煜，则对诗歌和动漫情有独钟。

“或看翡翠兰苕上，未掣鲸鱼碧海中。”邓煜曾被杜甫的这句诗击中。

我们不妨作一番自由联想。许多论文视野狭窄，本质上不过是在解答一些扭捏造作的试题，仿佛难用的机器。好一点的论文就像兰花枝上的翡翠鸟，精巧美丽。少数的论文，则像是大海中的巨鲸，翻身一跃，划出优美的曲线；重重击水，激起巨浪与水花。这种境界也许很难达到，但值得去追求。

邓煜还表示，当他完成了一个数学证明，“他会觉得有一种难以解释的诗意在其中。”邓煜的这种感觉，让人想到了庞加莱在《科学与人文》（Les Sciences et les humanités）一文中的一番论述。

庞加莱从许多角度论证，文学能极大促进数学家科学家做出一流的工作。譬如说，文学能深刻塑造其精神气质，不再局限自己的视野，追求某种理想。存在永恒的真理之域，即“更高的故乡”。科学家的灵魂深处，有一种“对一个更高故乡的乡愁”。他所研究的，仅仅是“伟大整体的一小部分”，而“对这个伟大整体的热爱与好奇心”是他的真正动力。这与另一位极富影响力的数学大师丘成桐所强调的不谋而合：要做出大学问，必须有坚实基础之上的丰富情感，而这种对真理的激情与想象力，往往能从文学中汲取，文学家和科学家同有一种浩然之气。

日暮乡关何处是？烟波江上使人愁。

庞加莱还指出，数学发明深刻依赖所谓“直觉悟性”（l'esprit de finesse），而文学特别能培养这种直觉。

数学发明最难的一步在于，确定无疑地找到你所需要的前提，也就是各种作为零件的概念与定理。

“为了通过归纳法进行发明，必须去猜测，必须去选择。人们不能等到拥有确定性，必须满足于直觉。”

虽然庞加莱举的例子是外语，但用中文来理解，倒感觉更恰当透彻。

鸟宿池边树，僧敲月下门。

吟安一个字，捻断数茎须。

构思立意，不止遣词造句，更有谋篇布局。这都需要靠直觉从庞大的语库里去选择、对比、揣摩。

“辞至于能达，则不可加矣。”

丘成桐说，科学家和文学家，“在研究方法上，也有很多类似的地方。”

非得靠文学训练这种直觉吗？不能直接靠数学吗？

庞加莱说，也不是不行，但这就违背认知规律走了弯路，需要“付出极其艰辛的努力”。他还用了一个消化食物的隐喻。小孩子生吞活剥数学概念，那得需要“钢铁之胃”。而文学恰是“细嚼慢咽”的准备。

耳濡目染文学中的种种诗意与直觉，正是培养数学直觉的大道。

庞加莱不仅是罕见的数学巨匠、物理学大师，还凭借深刻优美的文字，当选法国文学院院士，跟雨果、伏尔泰跻身同一殿堂。

——————————————————中国是当之无愧的诗歌大国、文学大国。

中国是广土巨族社会治理的典范。

半部论语治天下。

人工智能的大语言模型有个神奇的现象，基座模型一旦花了大力气训练好了，哪怕训练数据只是看似无用的通用文本，也能涌现出惊人的逻辑与理解力，稍加微调，就能迁移到编程、医疗等专业领域，无需从头再来。

一通则百通。

中国几千年的文化传统和审美积淀，是我们自信的底气。—————————————————————

中国早就诞生过不少世界级的顶级数学家。

譬如，陈省身、丘成桐、周炜良、陈景润、张益唐。

陈省身享有盛誉，是微分几何一代宗师。有一个耐人寻味的惊人事实，许多人并不知道：陈省身本科毕业于南开，硕士毕业于清华，是中国本土培养的第一位数学研究生。

大众最不熟悉的是周炜良。他虽然也没得过菲尔兹奖，但地位丝毫不逊色，数学史上留下的印记十分醒目。以他的姓氏（Chow）命名的几何概念与定理多达十几个。周炜良念的是私塾，饱读古文。

张益唐无疑也是菲尔兹奖级别，年龄的超标更增添其传奇色彩。他热爱音乐与文学。他对陈景润十分推崇，称之为“这辈子非常佩服的人”。他坚信中国年轻一代的潜能绝不逊于任何人，并勉励他们要“志存高远”。

华罗庚，自学成才，做出大成就，令人感叹。

陆家羲也很值得一叹。一个中学教师，竟然历尽艰辛解决了著名的组合学难题，荣获国家自然科学一等奖。

十年树木，百年树人。

丘成桐，一生有两大心愿：一是成为大数学家；二是提升祖国数学水平，让中国引领全世界数学发展的潮流。菲尔兹奖、沃尔夫奖、克拉福德奖，早已收入囊中。这些年来，他鞠躬尽瘁全身心为祖国培养下一代。他将中国现代数学的发展比作接力赛，一棒接一棒。

田刚，也在北大塑造了很好的学术氛围，让大家省却很多烦心事，自由自在地探索。这种至关重要的氛围，成果显著，值得大力推广。

一位科学大师可以深刻影响国家和民族未来多年的科技发展。

欧拉在俄国科学院工作多年，为后来数理领域的数百年辉煌奠定了深厚根基。

其实早在八百多年前，中国就已孕育出了公认的世界级数学家：秦九韶。

他的同余定理，出现在全世界每一本初等数论教科书中，比高斯、欧拉早五百多年。他的一元高次方程算法，比霍纳算法早近六百年。他还得出了海伦公式的等价形式。西方科学史对他的介绍也十分隆重。他的方法具有典型的“构造性”、“机械化”与“算法化”特征。可惜的是，中国古代，数学不登大雅之堂。

受他的启发，吴文俊晚年在几何定理的机器证明领域，开辟了全新的方法，荣获邵逸夫奖。早年闻名于几何，晚年又在全新领域有大突破，令人赞叹。

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中国也诞生过不少世界级的物理学家。

譬如，杨振宁、李政道。

再譬如，中国氢弹之父，于敏。

某种程度上，于敏是一个更令人惊叹的存在。

社会底层出身，完全本土培养，从未出过国。但他对理论物理学前沿问题的理解力和洞察力，如此之出类拔萃，让来访的诺贝尔物理学奖得主，朝永振一郎、阿格·玻尔，都大为惊叹。

若未从基础科学转行到应用科学，凭其卓越的才华，他完全有可能在人类物理学史上竖起更瞩目的丰碑。

于敏曾回忆，他更擅长和热爱的是基础物理，搞核武器，不太符合他的兴趣。但爱国主义压过兴趣，所以当时就答应转行。

四十多年后，一个十七岁的女孩，从地球与空间科学学院，转专业到了数学科学学院，从应用科学转到了基础科学。又过十八年，这女孩获得菲尔兹奖。

我们不应忘记，无数先辈的努力。

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基础科学并非万能。它跟应用科学，相互依赖相互促进，深度融合缺一不可。

今天的许多应用科学，从历史角度看，也曾是当时前沿的基础科学。应用科学的昌盛，市场经济的蓬勃，处处离不开对已有基础科学成果的理解与驾驭，也恰恰为基础科学的繁荣与持久，奠定了最好的物质基础。

短短几十年，中国就一跃而为产业链无比齐全的最大工业国。

这是真正的奇迹。不可思议，却又合乎情理。

这背后是无数勤劳勇敢且富有智慧的个体，不断突破限制与禁区，一点一点闯出崭新的天地。

束缚的每一次突破，都是对能力与信心的一次淬炼。

正是这无数个体的微观努力，汇聚成了时代的主旋律，动人而优美，简洁而激昂。

作为几千年绵延不绝的古老文明，中国理应对人类基础科学的繁荣，担负起更大的责任，做出更重要更持久的贡献。

我们的征途，是星辰大海。

我们必须，我们必将。

星星之火，可以燎原。